kunstbus

Ben jij de slimste mens? Test je kennisniveau op YaGooBle.com.
Dit artikel is 14-01-2016 voor het laatst bewerkt.

geometrie

Meetkunde

De meetkunde of geometrie is het onderdeel van de wiskunde dat zich bezighoudt met het bepalen van de afmetingen en andere eigenschappen van vlakke en ruimtelijke figuren.

Meetkunde is een van de oudste onderdelen van de wiskunde. Al in het klassieke Griekenland werden de eerste axioma's geformuleerd (waaronder de postulaten van Euclides), waar later de hele meetkunde zich uit heeft ontwikkeld. De axioma's werden gebruikt voor de wiskundige definitie van punten, rechte lijnen, krommen en vlakken.

Gedurende lange tijd was de meetkunde de studie van vlakke en ruimtelijke figuren. René Descartes introduceerde de algebra in de meetkunde door een rechthoekig assenstelsel in te voeren waarmee meetkundige objecten konden worden beschreven met getallen en vergelijkingen.

Andere wiskundigen zoals Carl Friedrich Gauss, Janos Bolyai en Nikolai Ivanovich Lobachevsky brachten de meetkunde nog verder vooruit door te komen met de zogenaamde niet-Euclidische meetkunde. De aanleiding hiervoor was eigenlijk een heel praktische: de klassieke 'meetkunde van het platte vlak' is niet op het aardoppervlak van toepassing; op het gekromde vlak geldt het parallellenpostulaat van Euclides niet. Langzaamaan ontstonden er meerdere verschillende niet-Euclidische meetkundes. Deze meetkundes bleken bijvoorbeeld zeer goed bruikbaar bij de beschrijving van de ruimte volgens de relativiteitstheorie van Einstein. Tegenwoordig is meetkunde dus zeker niet meer alleen beperkt tot het platte vlak; een ruimte kan veel meer dimensies hebben, en bijvoorbeeld ook oprekbaar zijn. Zie bijvoorbeeld de topologie, ofwel de meetkunde van rekbare oppervlakken. De stereometrie is de meetkunde in drie dimensies.

Daarnaast bestaat er beschrijvende meetkunde of wetenschappelijk tekenen wat ontwikkelt is door Gaspard Monge.


Stereometrie (of Ruimtemeetkunde)
De ruimtemeetkunde of stereometrie veralgemeent begrippen uit de klassieke, vlakke meetkunde tot vectorstructuren met meer dan twee dimensies. Aanvankelijk wordt vooral de driedimensionale Euclidische ruimte bestudeerd, waarvoor R3 model staat.

Basisbegrippen
Elementen van Rn heten punten. Een rechte is een lineaire variëteit van een eendimensionale deelruimte van Rn. Een hypervlak is een lineaire variëteit van een deelruimte met codimensie een, en dus dimensie n - 1. Als n = 3, noemt men een hypervlak gewoonweg een vlak.

De onderlinge stand van twee verschillende rechten kan, behalve snijdend en parallel, ook kruisend zijn. Dat wil zeggen dat de twee rechten lineaire variëteiten zijn van verschillende eendimensionale deelruimten (een verschillende richting hebben), en disjunct zijn (geen enkel punt gemeen hebben).

De Euclidische structuur krijgt men door het invoeren van een scalair product. Daarmee wordt Rn een reële Hilbertruimte. De afstand tussen twee punten is de lengte van hun verschilvector.

Twee vectoren verschillend van nul, heten onderling loodrecht als hun scalaire product nul is. Twee deelruimten (en hun nevenklassen) zijn loodrecht als hun vectoren twee aan twee loodrecht zijn.

Elementaire stellingen
Tussen een rechte/hypervlak/andersdimensionale lineaire variëteit en een punt dat er niet toe behoort, bestaat precies een verbindingsrechte, loodlijn genaamd, die loodrecht op de op die lineaire variëteit staat. De loodlijn meet de kortste afstand tussen het punt en de lineaire variëteit.

Twee kruisende rechten in R3 worden gesneden door precies een gemeenschappelijke loodlijn.


Copyright, This article is licensed under the GNU Free Documentation License. It uses material from the Wikipedia article http://nl.wikipedia.org/wiki/Geometrie.


Test je competentie op YaGooBle.com.

Pageviews vandaag: 1570.